Для того чтобы уравнение $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = a$ имело корни, необходимо, чтобы $0 \leq a \leq 2$, так как $0 \leq (\sin x)^4 \leq 1$ и $0 \leq (\cos x)^4 \leq 1$.

Таким образом, значениями параметра $a$, при которых уравнение имеет корни, будут все значения $a$ из отрезка $[0, 2]$.

Решим уравнение при $a = 0$:
$$(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 0$$
$$(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = 0$$
$$1 + 1 = 0$$
Уравнение не имеет решений при $a = 0$.

Решим уравнение при $a = 1$:
$$(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 1$$
$$(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = 1$$
$$1 = 1$$
Уравнение имеет бесконечно много решений при $a = 1$, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для любых $x$.

Решим уравнение при $a = 2$:
$$(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = 2$$
$$(\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = 2$$
$$1 + 1 = 2$$
Уравнение имеет бесконечно много решений при $a = 2$, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для любых $x$.

Таким образом, корни уравнения $(\sin x)^4 + (\cos x)^4 = a$ существуют для всех значений параметра $a$ из отрезка $[0, 2]$ и равны $\sin x = \pm \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}$, $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2-a}}{\sqrt{2}}$.