Пусть основание равнобедренного треугольника равно х, а высота равна у.

Из условия задачи, центр вписанной окружности делит высоту в отношении 12:5. Значит, от у/х = 12/5. Таким образом, у = (12/5)х.

Также из условия известно, что боковая сторона треугольника равна 12.

Рассмотрим треугольник, состоящий из половины основания, половины высоты и радиуса вписанной окружности. Этот треугольник является прямоугольным, поэтому можем использовать теорему Пифагора:

(х/2)^2 + ((12/5)х/2)^2 = 12^2

Решив это уравнение, найдем значение х. Подставив это значение вместо х в уравнение у = (12/5)х, найдем высоту треугольника.

Таким образом, мы найдем основание равнобедренного треугольника.