Дано a+b+c=0.

Домножим данное равенство на -2:

-2(a+b+c) = -2(0)
-2a - 2b - 2c = 0

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

-2a - 2b - 2c = 0
-2a + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 = 0
-2a + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2 = 0

Сгруппируем по парам:

-2a + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2 = a(2b+2c) + b^2 + 2bc + c^2 = a(2b+2c) + (b+c)^2

Таким образом, -2a + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2 = a(2b+2c) + (b+c)^2

Так как a+b+c=0, то a=-b-c.

Подставляем a=-b-c в полученное уравнение:

-2(-b-c) + 2(-b-c)(b) + 2(-b-c)(c) + b^2 + 2bc + c^2 = 2b + 2c + 2bc - b^2 - c^2 = 2b(1-c) + c(2-b) = 2b(1-c) - c(b-2) = (2b-c)(1-c)

Таким образом, получаем, что -2a + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2 = (2b-c)(1-c)

Так как (2b-c)(1-c) = 0, то общий результат будет:

ab + ac + bc <= 0

Таким образом, доказано, что если a+b+c=0, то ab+bc+ca<=0.