Для решения данного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (y'' - y = 6x^2 + 3x) можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения (y'' - y = 0). Характеристическое уравнение этого уравнения имеет вид:

[r^2 - 1 = 0]

[r^2 = 1]

[r_{1,2} = \pm 1]

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

[y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{-x}]

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде (y_p(x) = Ax^2 + Bx + C). Найдем производные:

[y'_p(x) = 2Ax + B, \quad y''_p(x) = 2A]

Подставим частное решение в исходное уравнение:

[2A - (Ax^2 + Bx + C) = 6x^2 + 3x]

[2A - Ax^2 - Bx - C = 6x^2 + 3x]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (x), получаем систему уравнений:

[
\begin{cases}
-A = 6 \
-B = 3 \
2A - C = 0
\end{cases}
]

Отсюда найдем (A = -6), (B = -3) и (C = 12), а частное решение будет выглядеть следующим образом:

[y_p(x) = -6x^2 - 3x + 12]

Итак, общее решение неоднородного уравнения будет состоять из суммы общего решения однородного уравнения и найденного частного решения:

[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} - 6x^2 - 3x + 12]