Чтобы найти частные производные первого порядка функции z = sin(x + 4y) + 2^x*y^3 + tg(xy), нужно взять производные по каждой переменной по очереди.

Частная производная по x:
∂z/∂x = cos(x + 4y) + 2^xln(2)y^3 + y/(cos^2(xy))

Частная производная по y:
∂z/∂y = 4cos(x + 4y) + 32^xy^2 + x/(cos^2(xy))

Таким образом, частные производные первого порядка функции z = sin(x + 4y) + 2^xy^3 + tg(xy) равны:
∂z/∂x = cos(x + 4y) + 2^xln(2)y^3 + y/(cos^2(xy))
∂z/∂y = 4cos(x + 4y) + 32^x*y^2 + x/(cos^2(xy))