Пусть f(x) = x + o(x) в окрестности нуля. Какие условия наложить на f, чтоб гарантировать существование предела LIm (f(x) - f(y)) / (x - y) при (x, y) -> (0, 0)?
Примеры.
При f(x) = x + x^2*D(x), где D(x) -функция Дирихле, предел не существует.
Если такую штуку скормить в Вольфрам, Вольфрам покажет, что предел не существует:
lim((x + x^3*cos(1/x)) - (y + y^3*cos(1/y))) / (x - y) at (x, y) = (0, 0)
Если кубы поменять на четвертую степень, то уже существует (и равен, очевидно, единице).
Как показывает пример с кубами, непрерывности частных производных функции f(x) - f(y) в окрестности точки (0, 0) нам, вроде бы, не хватит. А если непрерывность производных в окрестности нуля усилить до липшицевости производных там же, существование предела можно гарантировать?
Пусть f(x) = x + o(x) в окрестности нуля. Какие условия наложить на f, чтоб гарантировать существование предела LIm (f(x) - f(y)) / (x - y) при (x, y) -> (0, 0)?
Примеры.
При f(x) = x + x^2*D(x), где D(x) -функция Дирихле, предел не существует.
Если такую штуку скормить в Вольфрам, Вольфрам покажет, что предел не существует:
lim((x + x^3*cos(1/x)) - (y + y^3*cos(1/y))) / (x - y) at (x, y) = (0, 0)
Если кубы поменять на четвертую степень, то уже существует (и равен, очевидно, единице).
Как показывает пример с кубами, непрерывности частных производных функции f(x) - f(y) в окрестности точки (0, 0) нам, вроде бы, не хватит. А если непрерывность производных в окрестности нуля усилить до липшицевости производных там же, существование предела можно гарантировать?
Примеры.
При f(x) = x + x^2*D(x), где D(x) -функция Дирихле, предел не существует.
Если такую штуку скормить в Вольфрам, Вольфрам покажет, что предел не существует:
lim((x + x^3*cos(1/x)) - (y + y^3*cos(1/y))) / (x - y) at (x, y) = (0, 0)
Если кубы поменять на четвертую степень, то уже существует (и равен, очевидно, единице).
Как показывает пример с кубами, непрерывности частных производных функции f(x) - f(y) в окрестности точки (0, 0) нам, вроде бы, не хватит. А если непрерывность производных в окрестности нуля усилить до липшицевости производных там же, существование предела можно гарантировать?
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Да, если функция f(x) удовлетворяет условию Липшица в окрестности нуля, то предел
Lim (f(x) - f(y)) / (x - y) при (x, y) -> (0, 0)
существует. Это следует из того, что условие Липшица гарантирует ограниченность производных в окрестности нуля, что в свою очередь гарантирует существование предела данного отношения.
Таким образом, если функция f(x) удовлетворяет условию Липшица в окрестности нуля, то предел (f(x) - f(y)) / (x - y) существует и равен конечному числу.