Для начала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}).

Затем найдем медиану треугольника, которая равна половине гипотенузы:

(m = \frac{c}{2} = \frac{3\sqrt{17}}{2}).

Теперь найдем высоту треугольника, которую можно найти по формуле (h = \frac{2}{c} \cdot \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}), где (p) - полупериметр треугольника:

(p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 12 + 3\sqrt{17}}{2} = \frac{15 + 3\sqrt{17}}{2}).

Теперь подставляем данные в формулу и находим высоту треугольника:

(h = \frac{2}{3\sqrt{17}} \cdot \sqrt{\frac{15 + 3\sqrt{17}}{2}(\frac{15 + 3\sqrt{17}}{2} - 3)(\frac{15 + 3\sqrt{17}}{2} - 12)(\frac{15 + 3\sqrt{17}}{2} - 3\sqrt{17})}).

После нахождения медианы и высоты треугольника, мы можем найти тангенс угла между медианой и высотой по формуле:

(tan(\alpha) = \frac{m}{h}).

Подставляем найденные значения и вычисляем тангенс угла между медианой и высотой.