Для нахождения производной функции (х^2 + 2х + 2)е^(-х) используем правило производной произведения функций.

Данная функция можно представить как произведение двух функций: f(x) = х^2 + 2х + 2 и g(x) = e^(-х).

Производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведению первой функции на производную второй функции.

f'(x) = 2x + 2 (производная функции f(x))
g'(x) = -e^(-х) (производная функции g(x))

Теперь применяем формулу:

(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
= (2x + 2) e^(-х) + (х^2 + 2х + 2) (-e^(-х))
= 2xe^(-х) + 2e^(-х) - х^2e^(-х) - 2xe^(-х) - 2e^(-х)
= 2e^(-х) - х^2e^(-х)

Итак, производная функции (х^2 + 2х + 2)е^(-х) равна 2e^(-х) - х^2e^(-х).