Обозначим исходные числа через a, a+d, a+2d, где d - разность арифметической прогрессии.
Тогда из условия имеем:
a + (a+d) + (a+2d) = 15
3a + 3d = 15
a + d = 5

Теперь обозначим числа геометрической прогрессии через x, xr, xr^2, где r - знаменатель геометрической прогрессии.
Тогда из условия получаем:
a + 1 = x
a+d + 4 = xr
a+2d + 19 = xr^2

Подставляем a+d = 5 и a= x-1 в третье уравнение:
x-1 + 2*5 + 19 = xr^2
x + 29 = xr^2

Заменяем a+d = 5 на x - 1:
x + 4 = xr
x = r(x-1)
x = xr - r
r = 1 + 4/x

Подставляем уравнения выражающие r в предыдущие уравнения:
x + 29 = x(1 + 4/x)^2
x + 29 = x(1 + 8/x + 16/x^2)
x + 29 = x + 8 + 16/x

Решаем уравнение:
8 + 16/x = 29
16/x=21
x = 16/21

Теперь находим a:
a = x - 1 = 16/21 - 21/21 = -5/21

Подставляем a и находим исходные числа:
a = -5/21
a+d = 5
a+2d = 10

Исходные числа: -5/21, 5/21, 10/21.