Для того чтобы исследовать функцию на выпуклость и вогнутость, нужно найти вторую производную функции.

Дана функция:
y = x^3 - 3x^2 - 18x + 7

Первая производная:
y' = 3x^2 - 6x - 18

Вторая производная:
y'' = 6x - 6

Теперь найдем точку экстремума функции, приравняв первую производную к нулю:
3x^2 - 6x - 18 = 0
x^2 - 2x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x1 = 3 и x2 = -2

Теперь подставим найденные точки во вторую производную, чтобы определить выпуклость и вогнутость функции:

y''(3) = 63 - 6 = 18 - 6 = 12 > 0, значит функция выпукла в точке x = 3.
y''(-2) = 6(-2) - 6 = -12 - 6 = -18 < 0, значит функция вогнута в точке x = -2.

Итак, функция y = x^3 - 3x^2 - 18x + 7 выпукла при x = 3 и вогнута при x = -2.