Для доказательства данного утверждения рассмотрим выражение в таком виде:

x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 4y + 5 = (x-y)^2 + (2x-2)^2 + 1

Таким образом, значение данного выражения является суммой трех неотрицательных слагаемых: (x-y)^2, (2x-2)^2 и 1.

(x-y)^2 принимает только положительные значения при любых значениях x и y.(2x-2)^2 также принимает только положительные значения при любых значениях x.1 - это постоянное неотрицательное значение.

Следовательно, сумма положительных слагаемых также будет принимать только положительные значения при любых значениях x и y.

Таким образом, выражение x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 4y + 5 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных.