Для начала определим среднюю линию треугольника ABD - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Обозначим середину ребра BC как точку M.

Так как плоскость проходит через среднюю линию треугольника ABD, то она также проходит через вершину C и середину ребра BC (точку M). Таким образом, мы получаем, что точки A, B, C, D и M лежат на плоскости.

Поскольку плоскость параллельна стороне AB, то у нее все стороны будут параллельны стороне AB. То есть AB || CD и AD || BC. Из этого следует, что треугольник ACD равнобедренный.

Так как AM - средняя линия треугольника ABD, то она равна половине стороны BD. Таким образом, AM = MD.

Из предыдущего пункта следует, что треугольники AMC и CMD равнобедренные. Следовательно, углы AMC и CMD равны. Но так как AM = MD, то треугольник AMD равнобедренный.

Таким образом, получаем, что четырехугольник AMDC является параллелограммом (два противоположных угла равны, а стороны параллельны). Следовательно, AMDC - ромб.

Таким образом, сечение правильного тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через среднюю линию треугольника ABD, параллельную AB и середине ребра BC, является ромбом.