Для нахождения производной от функции 2sin(x/2)cos(x/2) воспользуемся правилом производной произведения двух функций.

Пусть u(x) = 2sin(x/2) и v(x) = cos(x/2), тогда функция f(x) = u(x)v(x) = 2sin(x/2)cos(x/2).

Производная произведения функций u(x) и v(x) вычисляется по формуле (u*v)' = u'v + uv'.

Найдем производные функций u(x) и v(x):

u'(x) = (2sin(x/2))' = 2 (sin(x/2))' = cos(x/2) (1/2) = cos(x/2) * 1/2 = (1/2)cos(x/2),

v'(x) = (cos(x/2))' = -sin(x/2) (1/2) = -sin(x/2) 1/2 = -(1/2)sin(x/2).

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения функций:

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (1/2)cos(x/2) cos(x/2) + 2sin(x/2) (-(1/2)sin(x/2)).

f'(x) = (1/2)cos^2(x/2) - sin(x/2)cos(x/2) = (1/2)cos^2(x/2) - sin(x/2)cos(x/2).

Итак, производной функции 2sin(x/2)cos(x/2) равна (1/2)cos^2(x/2) - sin(x/2)cos(x/2).