Для решения этой задачи можно воспользоваться методом подбора целых корней или методом синтетического деления.

Метод подбора целых корней:
Для начала переберем все возможные целые корни многочлена.
Для многочлена X^4+x^3-6X^2-4X+8 возможными целыми корнями будут +-1, +-2, +-4, +-8.
Пробуем каждый из них подставить в многочлен и проверяем, делится ли он на это число без остатка.

Подставим x = 1:
(1)^4 + (1)^3 - 6(1)^2 - 4(1) + 8 = 1 + 1 - 6 - 4 + 8 = 0

Таким образом, x = 1 - целый корень многочлена.

Далее, нужно разделить многочлен на (x - 1) с помощью синтетического деления, чтобы найти остаток и новый многочлен на одну степень меньше.

Проведя синтетическое деление, получим:

1 | 1 1 -6 -4 8
| 1 2 -4 -8

Ответ: Многочлен X^4+x^3-6X^2-4X+8 имеет целый корень x = 1.