Для нахождения объема пирамиды SF1M1S1, нам нужно найти высоту пирамиды от вершины S1 до плоскости F1M1S1.

Обозначим высоту пирамиды через h.

Так как F1M1S1 - это высота тетраэдра SFMP, то образует прямой угол с его основанием SFMP. Таким образом, треугольники F1S1M1 и F1SM1 - это прямоугольные треугольники.

Из теоремы Пифагора для треугольника F1S1M1 получаем:
(F1M1)^2 = (F1S1)^2 + (S1M1)^2

Известно, что F1M1 = 12√2 (половина стороны квадрата)

Также, S1M1 = S1M - M1S = 24√2 - 12√2 = 12√2
И S1F1 = S1F - F1F1 = 24√2 - 12√2 = 12√2

Подставим это в уравнение для треугольника F1S1M1:
(12√2)^2 = (12√2)^2 + (12√2)^2
288 = 288

Следовательно, треугольник F1S1M1 является прямым. Поэтому, треугольник FS1S - также прямой.

Теперь рассмотрим треугольник F1S1M1, лежащий в плоскости F1M1S1. Этот треугольник также является прямоугольным.

Так как FS1S - прямая, то угол между F1S1 и S1M1 также прямой. Это означает, что треугольник F1S1S также прямоугольный. Таким образом, у него две прямых угла: при F1S1 и при S1S.

Мы можем применить еще раз теорему Пифагора для этого треугольника:
(S1M1)^2 = (F1S1)^2 + (F1M1)^2
(12√2)^2 = (12√2)^2 + (12√2)^2
288 = 288

Таким образом, мы видим, что высота пирамиды равна 12√2.

Теперь мы можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) S h
V = (1/3) (1/2 24√2)^2 12√2
V = (1/3) (288 288) 12√2
V = 55296√2

Объем пирамиды SF1M1S1 равняется 55296√2.