Для нахождения предела данной функции при x -> 3 будем использовать алгебраические преобразования.

Lim(x -> 3) ((4x-3)^0.5- 3)/(x^2-3x)

Сначала преобразуем числитель:

((4x-3)^0.5- 3) = √(4x-3) - 3

Теперь преобразуем знаменатель:

x^2 - 3x = 3x(3x - 1)

Теперь подставим эти преобразованные выражения обратно в исходную функцию:

Lim(x -> 3) (√(4x-3) - 3) / (3x(3x - 1))

Теперь применим формулу разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Применим её к числителю:

(√(4x-3) - 3) = (√(4x-3) - √9) = (√(4x-3) - 3)(√(4x-3) + 3)

Теперь функция выглядит следующим образом:

Lim(x -> 3) ((√(4x-3) - 3)(√(4x-3) + 3)) / (3x(3x - 1))

Упрощаем числитель:

(√(4x-3) - 3)(√(4x-3) + 3) = (4x - 3) - 9 = 4x - 12

Теперь функция выглядит следующим образом:

Lim(x -> 3) (4x - 12) / (3x(3x - 1))

Объединяем подобные слагаемые в числителе:

4x - 12 = 4(x - 3)

Теперь функция выглядит так:

Lim(x -> 3) 4(x - 3) / (3x(3x - 1))

Сокращаем общие множители:

Lim(x -> 3) 4 / (3(3x - 1))

Подставляем x = 3:

4 / (3(9 - 1)) = 4 / (3 * 8) = 4 / 24 = 1/6

Итак, Lim(x -> 3) ((4x-3)^0.5- 3)/(x^2-3x) = 1/6.