Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника, проведенную из вершины, противолежащей углу 150 градусов. Так как угол при вершине равен 150 градусов, то им же и будет угол между боковой стороной и проведенной высотой. Так как у треугольника две равные стороны, он разбивается проведенной высотой на два равнобедренных треугольника. Таким образом, угол между боковой стороной и проведенной высотой в каждом из этих маленьких треугольников равен 75 градусов.

Теперь, чтобы найти высоту треугольника, воспользуемся тригонометрическими функциями. Пусть h - высота треугольника. Тогда:

tg(75) = h / (13 / 2)
tg(75) = h / 6.5
h = 6.5 * tg(75)
h ≈ 20.5

Площадь равнобедренного треугольника вычисляем по формуле:

S = 0.5 a h

где a - боковая сторона треугольника, h - высота треугольника. Подставим известные значения:

S = 0.5 13 20.5
S = 133.25

Ответ: площадь равнобедренного треугольника равна 133.25.