Для того, чтобы доказать, что уравнение x^3 + 5x - 1 = 0 не имеет целых корней, можно воспользоваться теоремой о рациональных корнях.

Данное уравнение имеет старший коэффициент равный 1 и свободный член равный -1. Согласно теореме о рациональных корнях, все целые корни данного уравнения будут делителями свободного члена (-1).

Таким образом, все потенциальные целые корни данного уравнения могут быть только ±1. Подставим их по очереди в уравнение:

1^3 + 51 - 1 = 5 ≠ 0
-1^3 + 5-1 - 1 = -7 ≠ 0

Таким образом, ни одно из этих значений не является корнем уравнения x^3 + 5x - 1 = 0. Следовательно, уравнение не имеет целых корней.