Максимальные идеалы в кольце F3[x] соответствуют простым идеалам, так как кольцо F3[x] является кольцом главных идеалов и областью целостности (F3 - поле).

Простые идеалы в F3[x] имеют вид (p(x)), где p(x) - неприводимый многочлен над полем F3.
Над полем F3 существуют три неприводимых многочлена:
1) p1(x) = x
2) p2(x) = x + 1
3) p3(x) = x + 2

Таким образом, максимальные идеалы в кольце F3[x] будут порождены этими неприводимыми многочленами:
1) (x)
2) (x + 1)
3) (x + 2)

Каждый из этих идеалов будет максимальным в F3[x].