Пример алгебраической дроби:

( \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} )

Решение:

Факторизуем знаменатель:
[ x^2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1) ]

Разложим дробь на простейшие:
[ \frac{3x^2 + 2x + 1}{(x+3)(x+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+1} ]

Найдем значения ( A ) и ( B ) путем общего знаменателя:
[ 3x^2 + 2x + 1 = A(x+1) + B(x+3) ]
[ 3x^2 + 2x + 1 = Ax + A + Bx + 3B ]
[ 3x^2 + 2x + 1 = x(A + B) + 3B + A ]

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ( x ):
[ A + B = 2 ]
[ 3B + A = 1 ]

Решаем систему уравнений и находим значения ( A = -1, B = 3 ).

Теперь подставляем ( A = -1 ) и ( B = 3 ) обратно в исходную дробь:
[ \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 3} = \frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x+1} ]