1) Для правильного многоугольника радиус вписанной окружности равен половине стороны, деленной на тангенс половины одного из внутренних углов многоугольника:

r = \frac{s}{2} \cdot tg\left(\frac{180°}{n}\right),

где r - радиус вписанной окружности, s - длина стороны многоугольника, n - количество сторон многоугольника.

Подставляя данные из условия, получаем:

5 = \frac{10}{2} \cdot tg\left(\frac{180°}{n}\right),

tg\left(\frac{180°}{n}\right) = \frac{1}{2},

так как tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}, получаем:

\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}},

откуда следует, что n = 6.

Теперь для радиуса описанной окружности можно воспользоваться формулой:

R = \frac{s}{2} \cdot csc\left(\frac{180°}{n}\right),

R = \frac{10}{2} \cdot csc(30°) = 10,

следовательно, радиус окружности, описанной около многоугольника, равен 10 см.

2) Количество сторон многоугольника равно 6.

Для нахождения длин дуг на описанной окружности треугольника воспользуемся теоремой о центральных углах.

Обратим внимание, что сумма прилежащих углов в треугольнике равна 140°, следовательно, угол на центральной дуге, соответствующей стороне треугольника, равен 140°.

Таким образом, сумма длин дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины, равна длине окружности, т.е. 2πR = 2 π 8√2 = 16π√2 см.