Что не так с решением диффуры? Диффура: y'' = ky
Решение:
Замена {y' = z(y), y'' = z'z}
z'z = ky
z' = ky/z
zdz = kydy
z² + c1 = ky²
z(y) = √(ky²-c1)
y' = √(√(ky²-c1)
dy/√(ky²-c1) = dx
Берём интеграл по табличке, там от dx/√(x²±a) = ln(x+√(x²±a))+c,
x = (1/√k)ln(y√k+√(ky²-c1))+c2
e^(x√k) = c2*(y√k+√(ky²-c1))
c2*e^(x√k) = y√k+√(ky²-c1)
c2*e^(x√k) - y√k = √(ky²-c1)
c2*e^(2x√k) - c2*y√k + ky² = ky²-c1
c2*y√k = c2*e^(2x√k)+c1, решение:
y(x) = (c2*e^(2x√k)+c1)/c2*√k
А правильное какбэ y(x) = (c2*e^(2x√k)+c1)/e^(x√k)
Буду очень благодарен за помощь в поиске ошибки.
Что не так с решением диффуры? Диффура: y'' = ky
Решение:
Замена {y' = z(y), y'' = z'z}
z'z = ky
z' = ky/z
zdz = kydy
z² + c1 = ky²
z(y) = √(ky²-c1)
y' = √(√(ky²-c1)
dy/√(ky²-c1) = dx
Берём интеграл по табличке, там от dx/√(x²±a) = ln(x+√(x²±a))+c,
x = (1/√k)ln(y√k+√(ky²-c1))+c2
e^(x√k) = c2*(y√k+√(ky²-c1))
c2*e^(x√k) = y√k+√(ky²-c1)
c2*e^(x√k) - y√k = √(ky²-c1)
c2*e^(2x√k) - c2*y√k + ky² = ky²-c1
c2*y√k = c2*e^(2x√k)+c1, решение:
y(x) = (c2*e^(2x√k)+c1)/c2*√k
А правильное какбэ y(x) = (c2*e^(2x√k)+c1)/e^(x√k)
Буду очень благодарен за помощь в поиске ошибки.
Решение:
Замена {y' = z(y), y'' = z'z}
z'z = ky
z' = ky/z
zdz = kydy
z² + c1 = ky²
z(y) = √(ky²-c1)
y' = √(√(ky²-c1)
dy/√(ky²-c1) = dx
Берём интеграл по табличке, там от dx/√(x²±a) = ln(x+√(x²±a))+c,
x = (1/√k)ln(y√k+√(ky²-c1))+c2
e^(x√k) = c2*(y√k+√(ky²-c1))
c2*e^(x√k) = y√k+√(ky²-c1)
c2*e^(x√k) - y√k = √(ky²-c1)
c2*e^(2x√k) - c2*y√k + ky² = ky²-c1
c2*y√k = c2*e^(2x√k)+c1, решение:
y(x) = (c2*e^(2x√k)+c1)/c2*√k
А правильное какбэ y(x) = (c2*e^(2x√k)+c1)/e^(x√k)
Буду очень благодарен за помощь в поиске ошибки.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Ошибка в решении заключается в неправильном взятии интеграла. При интегрировании у вас появляется фактор 1/√(ky²-c1), но вам нужно взять интеграл от dy, а не от dx. Правильное решение должно быть следующим:
dy/dx = √(ky² - c1)
dy/√(ky² - c1) = dx
Интегрируя это уравнение, получаем:
∫dy/√(ky² - c1) = ∫dx
arcsin(y/√(c1/k)) = x + c
Решая это уравнение относительно y, мы получаем:
y = √(c1/k) * sin(x + c)
Таким образом, правильное решение дифференциального уравнения y'' = ky будет y(x) = √(c1/k) * sin(x + c).