Доказательство:

Рассмотрим произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD и его произвольную вершину A.

Рассмотрим произвольные не сходящиеся в вершине A стороны AB и AD.Рассмотрим произвольную точку M на стороне AB и произвольную точку N на стороне AD.Рассмотрим отрезки BM и DN, проведённые из точек M и N перпендикулярно сторонам AB и AD соответственно.Покажем, что точки M и N таковы, что длины отрезков BM и DN одинаковы.Проведём отрезок AC и рассмотрим треугольники ABM и ADN. Они равны по двум сторонам и углу между ними (по трем сторонам), следовательно, они равны. Таким образом, BM и DN одинаковы по длине.Таким образом, сумма расстояний от вершины A до сторон AB и AD одинакова для всех точек на сторонах AB и AD.Поскольку точки M и N выбраны произвольно на сторонах AB и AD, получаем, что сумма расстояний от любой вершины четырёхугольника до двух не сходящихся в ней сторон одинакова для всех вершин.

Таким образом, доказано, что только у параллелограмма сумма расстояний от вершины до двух не сходящихся в ней сторон одинакова для всех четырёх вершин.