Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения сначала найдем общее решение уравнения у'+3у'=0.

Уравнение у'+3у'=0 можно переписать в виде y' = -3y.

Теперь рассмотрим это уравнение как уравнение с разделяющимися переменными:

dy/y = -3dx.

Интегрируя обе стороны, получим:

ln|y| = -3x + C,

где С - константа интегрирования.

Теперь найдем частное решение с учетом начальных условий у(0)=2 и у'(0)=3:

Подставим начальные условия в общее решение:

ln|2| = -3*0 + C,
ln|2| = C.

Таким образом, общее решение будет иметь вид:

ln|y| = -3x + ln|2|.

Применяя свойства логарифмов, можно переписать данное уравнение в виде:

y = 2e^(-3x),

где e - основание натурального логарифма.

Таким образом, частное решение уравнения у'+3у'=0, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=2, у'(0)=3, будет иметь вид:

y = 2e^(-3x).