Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то медиана $AM$ является высотой, а также медианой и биссектрисой угла при вершине $A$. Таким образом, треугольник $ABM$ также является равнобедренным.

Обозначим длину стороны треугольника $ABC$ как $a$, длину медианы $AM$ как $m$, а длины сторон треугольника $ABM$ как $x$ и $y$ (где $x$ - длина боковой стороны, $y$ - длина медианы).

Так как периметр равнобедренного треугольника $ABC$ равен 42 см, то получаем уравнение:
$$2a + m = 42$$

Также из условия известно, что периметр треугольника $ABM$ равен 34 см:
$$2x + y = 34$$

Так как треугольник $ABM$ равнобедренный, то $x=y$. Таким образом, мы можем переписать уравнение для периметра треугольника $ABM$:
$$2x + x = 34 \Rightarrow 3x = 34 \Rightarrow x = \frac{34}{3} = 11\frac{1}{3} \text{ см}$$

Теперь мы можем найти длину медианы $AM$:
$$m = a - x = \frac{42}{2} - 11\frac{1}{3} = 21 - 11\frac{1}{3} = 9\frac{2}{3} \text{ см}$$

Итак, медиана $AM$ равна 9 и 2/3 см.