Для исследования непрерывности функции необходимо проверить ее наличие на всех точках области определения. Точка разрыва может быть:

Разрыв первого рода - функция имеет конечное значение в точке, но левый и правый пределы не совпадают.Разрыв второго рода - функция разрывается из-за невозможности определить предел в данной точке (например, деление на ноль).

Пример:
$f(x) = \frac{x}{x+2}, x \neq -2$

Область определения функции: $D = \mathbb{R} \setminus {-2}$

Проверим непрерывность в точке $x=-2$:
$\lim{x \to -2^-}f(x) = \lim{x \to -2^-}\frac{x}{x+2} = \lim{x \to -2^-}\frac{x}{x+2} = \frac{-2}{0^-} = -\infty$
$\lim{x \to -2^+}f(x) = \lim_{x \to -2^+}\frac{x}{x+2} = \frac{-2}{0^+} = \infty$

Таким образом, функция имеет разрыв первого рода в точке $x=-2$.

График функции можно построить, учитывая, что в точке $x=-2$ будет разрыв первого рода:

|
|
|
|---------------

На графике видно, что функция стремится к бесконечности при приближении к точке $x=-2$ справа и слева.