Пусть a - основание равнобедренного треугольника, b - боковая сторона. Так как у нас есть два равных боковых и одна основание, то периметр равнобедренного треугольника равен:

a + 2b = 34.

Зная, что периметр равен 34, можем выразить одну из сторон через другую: a = 34 - 2b.

Площадь равнобедренного треугольника выражается формулой:

S = (b * √(a^2 - (b^2/4))) / 2.

Подставляем найденное значение a = 34 - 2b и находим производную площади по b:

dS/db = (34b - 4b^2) / (4√((34-2b)^2 - b^2)).

Теперь находим максимум площади, приравнивая производную к нулю:

(34b - 4b^2) = 0,
b = 8.5.

Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8.5, основание равно 17, а найденная площадь треугольника равна 59.5.