Для начала найдем длины диагоналей ромба. Обозначим длину более короткой диагонали через а, а длину более длинной через b. Так как отношение диагоналей 3:4, то a:b = 3:4.

Так как диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника, то длина стороны ромба равна половине гипотенузы одного из этих треугольников. Таким образом, сторона ромба равна половине длины диагонали.

Для ромба со стороной 10 см:

a = 10 / 2 = 5 см

b = a 4 / 3 = 5 4 / 3 = 6.(6) см

Следующим шагом найдем площадь ромба. Она может быть выражена двумя способами: через длину стороны и через длины диагоналей.

S = (d1 d2) / 2 = (10 6.(6)) / 2 = 66.6 см^2

S = a * h, где h - высота ромба, опущенная на одну из его сторон.

h = sqrt(b^2 - (a/2)^2) = sqrt((6.(6))^2 - 5^2) = sqrt(44.(4)) = 6.(6) см

S = a h = 5 6.(6) = 33.(3) см^2

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Он равен половине высоты ромба, опущенной на одну из его сторон:

r = h / 2 = 6.(6) / 2 = 3.(3) см

Таким образом, радиус вписанной окружности ромба со стороной 10 см равен 3.(3) см.