Для нахождения мнимого и вещественного значения функции arctg(1 + 2i), мы можем использовать формулу arctg(z) = - (i/2) * Ln(1 - z / (1 + z)).

Заменяем z на 1 + 2i:
z = 1 + 2i

Подставляем это значение в формулу:
arctg(1 + 2i) = - (i/2) * Ln(1 - (1 + 2i)/(1 + 2i))

Преобразуем дробь:
1 - (1 + 2i) / (1 + 2i) = 1 - 1 - 2i / 1 + 2i = -2i / (1 + 2i) = -2i / (1 + 2i) * (1 - 2i) / (1 - 2i) = -2i - 4i^2 / 1 - 4i^2 = -2i + 4 / 1 + 4 = -2i + 4 / 5

Подставляем обратно в формулу:
arctg(1 + 2i) = - (i/2) * Ln(-2i + 4 / 5)

Мы можем выразить -2i + 4 / 5 в виде комплексного числа a + bi:
-2i + 4 / 5 = 4 / 5 - 2i = 4 / 5 - 10i / 5 = (4 - 10i) / 5

Подставляем обратно в формулу:
arctg(1 + 2i) = - (i/2) * Ln((4 - 10i) / 5)

Теперь мы можем вычислить значение функции arctg(1 + 2i).