Для решения этой задачи нужно найти значения функции на концах отрезка [0;6] и в критических точках внутри этого отрезка.

Найдем значение функции на концах отрезка:
y(0) = 0^3 - 30^2 - 450 + 225 = 225
y(6) = 6^3 - 36^2 - 456 + 225 = 63

Найдем критические точки функции, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
y'(x) = 3x^2 - 6x - 45
3x^2 - 6x - 45 = 0
x^2 - 2x - 15 = 0
(x - 5)(x + 3) = 0
x1 = 5
x2 = -3

Теперь найдем значение функции в найденных критических точках:
y(5) = 5^3 - 35^2 - 455 + 225 = 100
y(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 45(-3) + 225 = 309

Сравниваем полученные значения функции:
225 (на границе) < 100 (критическая точка) < 309 (критическая точка) < 63 (на границе)

Наибольшее значение функции y = х^3 - 3х^2 - 45х + 225 на отрезке [0;6] равно 309 и достигается при x = -3.