Для начала найдем длины катетов прямоугольного треугольника. Пусть a и b - это длины катетов, тогда гипотенуза c равна 2r (где r - радиус описанной около треугольника окружности).

Таким образом, получаем:
c = 2r = 6,
a^2 + b^2 = c^2 = 6^2 = 36,
a^2 + b^2 = 36.

Также из условия задачи, высота h треугольника равна 2 и равна половине произведения катетов, деленного на гипотенузу:
h = ab / c = 2,
ab = 2c,
ab = 12.

Теперь у нас есть два уравнения для a и b:
a^2 + b^2 = 36,
ab = 12.

Выразим, например, a через b из второго уравнения:
a = 12 / b.

Подставим это в первое уравнение:
(12/b)^2 + b^2 = 36,
144/b^2 + b^2 = 36,
b^4 - 36b^2 + 144 = 0,
(b^2 - 16)(b^2 - 9) = 0.

Из этого получаем два решения:
b = 4, a = 3,
b = 3, a = 4.

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = 0.5 3 4 = 6.

Ответ: площадь прямоугольного треугольника равна 6.