C одной стороны, tg(arctg(0,5))=0,5

C другой стороны, tg(arctg(0,5))=2*tg(0,5arctg(0,5))/(1-tg^2(0,5arctg(0,5))

Получаем уравнение, относительно неизвестной величины tg(0,5arctg(0,5)), которую обозначим для простоты записи за t:

t^2+4t-1=0 => t_1=-2-sqrt(5), t_2=-2+sqrt(5). Но, 0<0,5*arctg(0,5)<pi/8 => tg(0,5*arctg(0,5))>0. Откуда, заключаем, что tg(0,5*arctg(0,5))=-2+sqrt(5)

Ответ: -2+sqrt(5).