Пусть число Миши равно 600 + х, где х - это двузначное число, начинающееся на 6. Тогда число Кати равно 10у + 3, где у - это двузначное число, заканчивающееся на 3.

Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом: (600 + х) - (10у + 3) = 22.

Решив это уравнение, получим значения х = 5 и у = 8.

Таким образом, число Миши - 605, а число Кати - 103. Их произведение будет равно 605 * 103 = 62315.

Ответ: 62315.