Математическое доказательство неравенства e^pi > pi^e можно провести с помощью разложения в ряд Тейлора. Для этого можно применить следующий подход:

Разложим функции e^x и x^e в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
x^e = 1 + ex + e^2x^2/2! + e^3x^3/3! + ...

Проанализируем коэффициенты при x в каждом из разложений:
Для e^x коэффициенты увеличиваются с ростом степени, а для x^e уменьшаются.

Сравним коэффициенты при x в разложениях для разных степеней:
При x = pi имеем: e^pi = 1 + pi + pi^2/2! + pi^3/3! + ...
и
pi^e = 1 + epi + e^2pi^2/2! + e^3*pi^3/3! + ...

Посмотрим на коэффициенты при pi в каждом из разложений:
Коэффициенты при pi в разложениях будут соответствовать кубическим и максимальным степеням, так как e^3 = 20.08485, а e^3 ≈ 20.0855, то коэффициент при pi будет больше в разложении для e^pi, чем в разложении для pi^e.

Таким образом, исходя из анализа коэффициентов при pi в разложениях, мы можем утверждать, что e^pi > pi^e.