Давайте обозначим сумму чисел на верхних гранях каждого кубика при каждом из бросков буквами $a, b, c, d, e, f$.

Так как каждое число от 1 до 6 встречается по одному разу на грани кубика, то сумма чисел на гранях кубика равна $1+2+3+4+5+6=21$.

Таким образом, мы имеем следующие уравнения:
$a+b+c+d+e+f=22$
$a'+b'+c'+d'+e'+f'=15$
$a''+b''+c''+d''+e''+f''=19$
$a'''+b'''+c'''+d'''+e'''+f'''=21$
$a''''+b''''+c''''+d''''+e''''+f''''=24$
$a'''''+b'''''+c'''''+d'''''+e'''''+f'''''=x$

Где $a, ..., f$ - числа на гранях кубиков при первом броске, $a', ..., f'$ - числа на гранях кубиков при втором броске и так далее. $x$ - сумма чисел на гранях кубиков при шестом броске.

Известно, что $a+b+c+d+e+f=22$. Поскольку мы исключили ситуацию, когда одно и то же число выпадает дважды, то сумма чисел на верхних гранях кубиков была равна $1+2+3+4+5+6=21$ и добавим к этой сумме число, которое выпало дважды в других бросках: $22-21=1$.

Итак, получаем, что лишь одно число выпало дважды при первом броске. Посмотрим на оставшиеся суммы: вторая сумма - 15, третья - 19, четвёртая - 21, пятая - 24. Нам нужно найти число, которое может увеличить итоговую сумму ещё на 3, чтобы получить число в сумме 24. $6+6+6+6+6=30, 30-24=6$. Следовательно, шестое число равняется 6. Получаем, что сумма чисел на гранях кубиков при шестом броске равно 24.