Произведение

Они равны. Да, звучит не совсем убедительно, но давайте разберёмся.

1. Сумма всех натуральных чисел - это расходящийся ряд (последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела). Следовательно, сумма равна бесконечности. С другой стороны, существуют определённые математические хитрости, которые позволяют по-разному находить суммы расходящихся рядов. Так, при применении формулы Эйлера-Маклорена (разложение функции в ряд) можно получить вполне конечный результат: -1/12, что на первый взгляд является неверным пониманием суммы натуральных чисел. Однако данное числовое значение успешно применяется в теории струн и в квантовой теории поля. Важно тут понимать, что разложение в ряд, грубо говоря, - это упрощение и приближение.

2. Произведение всех натуральных чисел - это предел при N, стремящимся к бесконечности от N! (N факториал). Для факториала N можно записать мажоранту в виде степенной функции (N/2)^N: она будет всегда больше значения факториала при фиксированном N. И по первому признаку сравнения положительных рядов можно заключить, что предел от N! при N -> ∞ равен ∞, так как расходится его мажоранта.

3. Пожалуй, самый главный вывод состоит в том, что равенство тут не означает эквивалентность на множестве рациональных чисел, поскольку расходящийся ряд (сумма всех натуральных чисел) не принадлежит ни множеству натуральных, ни множеству рациональных чисел, а является объектом совсем иного класса.