Для вычисления радиуса описанной окружности вокруг правильного треугольника с известной стороной, нам понадобится радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник можно найти по формуле:

[ r_{\text{впис}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} ]

где ( a = 5\sqrt{3} ) - длина стороны треугольника.

Подставляем значение стороны ( a = 5\sqrt{3} ) в формулу:

[ r_{\text{впис}} = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{15}{6} = 2.5 \text{ см} ]

Теперь, чтобы найти радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой:

[ r_{\text{оп}} = \frac{a}{2 \cdot \cos(30^\circ)} ]

где косинус угла 30 градусов равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ). Подставляем значения и вычисляем:

[ r_{\text{оп}} = \frac{5\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{3}}{1} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]

Таким образом, радиус описанной окружности равен ( 5\sqrt{3} \text{ см} ).