Для нахождения произведения производной функции в точке (x_0 = 1) необходимо сначала найти производную данной функции (y = x^6 - 3x^3 + x^2).

(y' = 6x^5 - 9x^2 + 2x).

Теперь мы можем найти значение производной функции в точке (x_0 = 1):

(y'(1) = 6(1)^5 - 9(1)^2 + 2*(1) = 6 - 9 + 2 = -1).

Теперь найдем произведение производной функции в точке (x_0 = 1):

(y'(1) \cdot x_0 = -1 \cdot 1 = -1).

Ответ: Произведение производной функции в точке (x_0 = 1) равно -1.