Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами прямоугольного треугольника.

Так как внешний угол при вершине M равен 150 градусов, то внутренний угол при вершине M будет равен 180 - 150 = 30 градусов.

Также из условия задачи мы знаем, что NK + MK = 15 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK. Пусть x - длина стороны MK, тогда по теореме косинусов:

cos(30) = NK/MK
cos(30) = NK/x
sqrt(3)/2 = NK/x
NK = x * sqrt(3)/2

Так как NK + MK = 15 см, то:

x sqrt(3)/2 + x = 15
x(sqrt(3)/2 + 1) = 15
x = 15 / (sqrt(3)/2 + 1)
x = 15 / ((sqrt(3) + 2)/2)
x = (15 2) / (sqrt(3) + 2)
x = 30 / (sqrt(3) + 2)

Таким образом, длинна гипотенузы MK равна 30 / (sqrt(3) + 2) см.