Для нахождения значения предела ((1 + tgx)/(1 + sinx))^(1/sinx) при стремлении x к 0 через второй замечательный предел воспользуемся следующим подходом:

Разложим исходное выражение ((1 + tgx)/(1 + sinx))^(1/sinx) при x стремящемся к 0 в ряд по Тейлору.

Упростим выражение в показателе степени с помощью второго замечательного предела lim x-> 0 (tgx/x) = 1.

Подставим полученные результаты и найдем предел.

Полученное выражение выглядит следующим образом:
lim(1 + tgx)/(1 + sinx))^(1/sinx) = e^(lim sinx(tgx)/(1 + sinx) = e^1 = e.

Таким образом, искомый предел ((1 + tgx)/(1 + sinx))^(1/sinx) при стремлении x к 0 равен e.