Для решения данного дифференциального уравнения мы используем метод разделения переменных. Для этого давайте сначала выразим уравнение в виде уравнения с разделенными переменными:

(1+x^2)dy-(xy+x)dx=0
(1+x^2)dy = (xy+x)dx
dy = (xy+x)/(1+x^2)dx

Теперь разделим переменные, выделяя члены с у и x:

dy/(1+y) = (xdx)/(1+x^2)

Проинтегрируем обе стороны данного уравнения:

∫(1/(1+y)) dy = ∫(x/(1+x^2)) dx

ln|1+y| = ln|1+x^2| + C

Теперь найдем константу С, используя начальные условия y=1 при x=√3:

ln|1+1| = ln|1+3| + C
ln|2| = ln|4| + C
ln2 = ln4 + C
C = ln2 - ln4
C = ln(2/4)
C = ln(1/2)
C = -ln2

Итак, окончательное решение уравнения:

ln|1+y| = ln|1+x^2| - ln2
ln|1+y| = ln|1+x^2| - ln2
ln|1+y| = ln((1+x^2)/2)

y = (1+x^2)/2

Таким образом, решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1+x^2)dy-(xy+x)dx=0 при y=1 при x=√3 равно y = (1+x^2)/2.