Доказательство:

База индукции:
При n = 1 левая часть равенства равна 12345 = 120, а правая часть равна 1234 = 244 = 96. Таким образом, база индукции верна.

Предположение индукции:
Пусть справедливо для некоторого натурального k:
12345+…+k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)

Индукционный переход:
Докажем, что из предположения индукции следует верность утверждения для k+1.
Добавим к обеим частям равенства выражение (k+1)(k+2)(k+3) и получим:
12345+…+k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)

Сделаем общий знаменатель, приведем подобные слагаемые и упростим:
(k+1)(k+2)(k+3) = (k^3+6k^2+11k+6) + (k^2 + 5k + 6) = k^3+6k^2+11k+6
(k+1)(k+2)(k+3) = k^3 + 6k^2 + 11k + 6

Таким образом, получаем:
k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3) = k^4 + 6k^3 + 11k^2 + 6k + k^3 + 6k^2 + 11k + 6 = k^4 + 7k^3 + 17k^2 + 17k + 6

Теперь подставим (k+1) вместо k в левую часть утверждения:
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k^4 + 7k^3 + 17k^2 + 17k + 6)(k+4)
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = k^5 + 11k^4 + 41k^3 + 61k^2 + 38k + 24

Исходное утверждение для k+1 принимает вид:
12345+…+(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

Следовательно, утверждение верно для k+1.

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что для любого натурального n справедливо равенство:
12345+…+n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)