Для решения этой задачи можно воспользоваться теорией остатков.
Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде одного из трех остатков при делении на 3: 0, 1 или 2.

Если мы выберем 4 числа, то хотя бы два из них будут иметь одинаковый остаток при делении на 3 (или оба будут кратны трём).
Тогда их сумма будет кратна 3.

Таким образом, минимальное количество различных натуральных чисел, которое нужно выбрать, чтобы среди них всегда можно было выделить три числа, сумма которых кратна 3, составляет 4.