Для начала заметим, что при n=1 уравнение не выполняется, так как 2^1+1^2=3≠65. Поэтому будем рассматривать случаи, когда n≥2.

Так как 2^n является степенью двойки, то при n≥2 оно будет больше 2. Обратим внимание, что максимальная степень двойки, которая меньше или равна 65, равна 64 (2^6=64). Значит, n∈{2,3,4,5,6}.

При n=2: 2^2+k^2=65
4+k^2=65
k^2=61
k=±√61
как √61 не целое число, то это решение не подходит.

При n=3: 2^3+k^2=65
8+k^2=65
k^2=57
как √57 не целое число, то это решение не подходит.

При n=4: 2^4+k^2=65
16+k^2=65
k^2=49
k=7

При n=5: 2^5+k^2=65
32+k^2=65
k^2=33
как √33 не целое число, то это решение не подходит.

При n=6: 2^6+k^2=65
64+k^2=65
k^2=1
k=1

Итак, единственными натуральными решениями уравнения 2^n+k^2=65 являются (n,k)=(4,7) и (6,1).