Для начала докажем, что среди всех вписанных в окружность n-угольников с фиксированным радиусом максимальная площадь будет у правильного n-угольника.

Пусть у нас есть произвольный вписанный n-угольник с фиксированным радиусом. Рассмотрим одну из его сторон. Посмотрим на треугольник, образованный этой стороной и двумя радиусами, проведенными к концам этой стороны. Так как вся площадь n-угольника распределена между такими треугольниками, то максимальная площадь достигается тогда, когда углы треугольника равны между собой, то есть когда стороны равны между собой. Таким образом, стороны n-угольника должны быть равны между собой, то есть он будет правильным.

Теперь рассмотрим бонусное утверждение. Для описанных n-угольников с минимальной площадью и минимальным периметром правильный n-угольник не всегда будет обладать этими свойствами. Например, для треугольника правильной формы минимальная площадь и минимальный периметр будут у треугольника с углами, равными нулю, π и π. Таким образом, правильный n-угольник не всегда обладает минимальной площадью и периметром среди описанных n-угольников.