Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой разложения функции по сферическим функциям:

$$ f(\theta, \phi) = \sum{l=0}^{\infty} \sum{m=-l}^{l} c{lm} Y{lm}(\theta, \phi) $$

где $f(\theta, \phi)$ - непрерывная функция на сфере, $Y{lm}(\theta, \phi)$ - сферическая функция Лежандра, $c{lm}$ - коэффициенты Фурье.

Посмотрим на последовательность частичных сумм этого ряда:

$$ SN = \sum{l=0}^{N} \sum{m=-l}^{l} c{lm} Y_{lm}(\theta, \phi) $$

Так как функция $f$ непрерывна на сфере, то ряд Фурье для нее сходится к этой функции по норме равномерной сходимости. Посмотрим на сходимость последовательности частичных сумм к функции $f$:

$$ \lim_{N \to \infty} S_N(\theta, \phi) = f(\theta, \phi) $$

Таким образом, ряд Фурье для функции $f(\theta, \phi)$ сходится к этой функции на всей сфере. Значит, можно выбрать достаточно большое $N$, чтобы частичная сумма $S_N$ аппроксимировала функцию $f$ с любой заданной точностью.

Таким образом, каждая непрерывная функция на сфере может быть разложена в ряд Фурье с конечным числом ненулевых коэффициентов.