Для начала найдем большее основание трапеции. Обозначим его через (a), а равные боковые стороны через (b). Так как у нас есть равнобедренная трапеция, то (a = b).

Как известно из тригонометрии, в равнобедренном треугольнике с углом в 30°, отношение сторон равно (\frac{\sqrt{3}}{3}). Таким образом, соотношение сторон в равнобедренной трапеции будет равно:

[\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3}]

Так как (a = b), то это соотношение можно записать как:

[\frac{a}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}]

Отсюда получаем, что (a = \sqrt{3}b).

Меньшее основание равно 10, следовательно, (b = 10).

Тогда (a = \sqrt{3} \cdot 10 = 10\sqrt{3}).

Теперь можем найти площадь равнобедренной трапеции по формуле:

[S = \frac{a + b}{2} \cdot h]

Где (h) - высота трапеции, которая равна (\sqrt{b^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}).

Подставляем известные значения и находим площадь (S):

[S = \frac{10\sqrt{3} + 10}{2} \cdot \sqrt{10^2 - \left(\frac{10\sqrt{3} - 10}{2}\right)^2}]

[S = 5(5\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{100 - \left(5\sqrt{3} - 5\right)^2} = 5(5\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{100 - (75 - 50\sqrt{3} + 25)}]

[S = 5(5\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{100 - 50 + 50\sqrt{3} - 25} = 5(5\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{50\sqrt{3} + 25}]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна ( 5(5\sqrt{3} + 1) \cdot \sqrt{50\sqrt{3} + 25}).