Для решения треугольников используем знания из тригонометрии и правила синусов и косинусов. Пойдем по порядку.

A) ( a = 15 ), ( \alpha = 75^\circ ), ( \beta = 45^\circ )

Сначала найдем третий угол ( \gamma ):
[
\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ
]

Теперь найдем стороны ( b ) и ( c ) (с помощью закона синусов):
[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
]

Из этого выражения найдём сторону ( b ):
[
\frac{15}{\sin 75^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \implies b = \frac{15 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}
]
Подставляя значения:
[
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
b \approx \frac{15 \cdot 0.7071}{0.9659} \approx 10.98
]

Теперь ( c ):
[
c = \frac{15 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \implies c = \frac{15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
]
[
c \approx 12.99
]

Итак, элементы треугольника A:

( b \approx 10.98 )( c \approx 12.99 )Б) ( a = 15 ), ( b = 23 ), ( \gamma = 45^\circ )

Сначала найдем угол ( \alpha ) с помощью закона косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma
]
Подставляя значения:
[
c^2 = 15^2 + 23^2 - 2 \cdot 15 \cdot 23 \cdot \cos(45^\circ)
]
[
c^2 = 225 + 529 - 2 \cdot 15 \cdot 23 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
c^2 = 754 - 15 \cdot 23 \cdot \sqrt{2} \approx 754 - 15 \cdot 23 \cdot 0.7071 \approx 754 - 243.64 \approx 510.36
]
[
c \approx \sqrt{510.36} \approx 22.6
]

Теперь найдем угол ( \beta ):
[
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \frac{15}{\sin \alpha} = \frac{23}{\sin(45^\circ)}
]
Откуда:
[
\sin \alpha = \frac{15 \cdot \sin(45^\circ)}{23}
]
Используя ( \sin(45^\circ) \approx 0.7071 ):
[
\sin \alpha \approx \frac{15 \cdot 0.7071}{23} \approx 0.4612 \implies \alpha \approx 27.52^\circ
]

После этого ( \beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 27.52^\circ - 45^\circ \approx 107.48^\circ ).

Итак, элементы треугольника Б:

( c \approx 22.6 )( \alpha \approx 27.52^\circ )( \beta \approx 107.48^\circ )В) ( a = 5 ), ( b = 18 ), ( c = 20 )

Используем закон косинусов, чтобы найти углы:

Найдем угол ( \alpha ):
[
\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{18^2 + 20^2 - 5^2}{2 \cdot 18 \cdot 20}
]
[
\cos \alpha = \frac{324 + 400 - 25}{720} = \frac{699}{720} \approx 0.97125
]
Отсюда:
[
\alpha \approx \cos^{-1}(0.97125) \approx 13.31^\circ
]

Затем найдем угол ( \beta ):
[
\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 20^2 - 18^2}{2 \cdot 5 \cdot 20}
]
[
\cos \beta = \frac{25 + 400 - 324}{200} = \frac{101}{200} \approx 0.505
]
Отсюда:
[
\beta \approx \cos^{-1}(0.505) \approx 59.73^\circ
]

Теперь найдем угол ( \gamma ):
[
\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 13.31^\circ - 59.73^\circ \approx 107.96^\circ
]

Итак, элементы треугольника В:

( \alpha \approx 13.31^\circ )( \beta \approx 59.73^\circ )( \gamma \approx 107.96^\circ )

Если есть вопросы по расчетам, не стесняйтесь уточнять!