Давайте вычислим сумму ( S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{39 \cdot 40} ).

Каждый член суммы имеет вид ( \frac{1}{n(n+1)} ). Мы можем разложить этот член на частные дроби:

[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
]

Теперь подставим это в нашу сумму:

[
S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{39} - \frac{1}{40} \right)
]

В этой записи видно, что происходит телескопическое сокращение:

[
S = 1 - \frac{1}{40}
]

Теперь упрощаем:

[
S = 1 - 0.025 = 0.975
]

Таким образом, сумма ( S ) равна

[
\boxed{0.975}
]