Дано, что треугольник Биссектрисы ( AM ) делит сторону ( BC ) на отрезки ( BM = 9 ) и ( MC = 4 ).

Согласно свойству биссектрисы, отношение отрезков, на которые она делит сторону, равно отношению прилежащих сторон треугольника. В данном случае мы можем обозначить длины сторон ( AB ) и ( AD ) как ( a ) и ( b ) соответственно.

Согласно свойству биссектрисы:

[
\frac{AB}{AD} = \frac{BM}{MC} = \frac{9}{4}
]

Таким образом, мы можем записать:

[
\frac{a}{b} = \frac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad 4a = 9b \quad \Rightarrow \quad a = \frac{9}{4}b
]

Площадь прямоугольника ( ABCD ) вычисляется по формуле:

[
S = a \cdot b
]

Подставим выражение для ( a ):

[
S = \left( \frac{9}{4}b \right) \cdot b = \frac{9}{4}b^2
]

Теперь необходимо найти значение ( b ). Для этого используем свойство прямоугольника:

Сумма длин отрезков ( BM + MC = BC ). Таким образом, длина стороны ( BC = 9 + 4 = 13 ):

Так как ( BC ) представляет собой сторону ( b ) прямоугольника, то:

[
b = 13
]

Теперь подставим значение ( b ) в формулу для площади:

[
S = \frac{9}{4} (13^2) = \frac{9}{4} \cdot 169 = \frac{1521}{4} = 380.25
]

Таким образом, площадь прямоугольника ( ABCD ) равна:

[
\boxed{380.25}
]